דוד שולמן סיים תואר הראשון בהצטיינות בהיסטוריה אסלאמית ובשפה וספרות ערבית באוניברסיטה העברית. הוא למד לדוקטורט בספרות טמילית בבית הספר ללימודי המזרח ואפריקה (SOAS) שבאוניברסיטת לונדון, תחת הנחייתו של חוקר טמיל והמוזיקולוג ג'ון ר. מאר. הלימודים כללו עבודת שדה בטאמיל נאדו בשנים 1976-1975. הוא קיבל את הדוקטורט ב-1976, על עבודתו בנושא המיתולוגיה של המקדשים של האל שיווה באזור טאמיל נאדו שבדרום הודו.
ב-1976 החל לעבוד כמרצה בחוג ללימודים הודיים ומדע הדתות באוניברסיטה העברית. הוא נבחר כחבר האקדמיה הלאומית הישראלית למדעים ב-1988. שימש כראש המכון ללימודי אסיה ואפריקה ואחר כך כראש המכון ללימודים מתקדמים באוניברסיטה העברית. דוד שהה כפרופסור אורח באוניברסיטת ויסקונסין, אוניברסיטת ג'ונס הופקינס ואוניברסיטת פנסילבניה. ב-1987 זכה במלגת מקארתור.

ספרו הראשון היה ספר שירה בשם המקדש והמים שהתפרסם ב-1974 וזכה בפרס ניומן עבור ספר ראשון בשירה. בשנת 2010 הוא יזם את תוכנית עמיתי מרטין בובר במדעי הרוח והחברה.